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特征值简介_特征值个人资料_特征值微博

2016-11-27 19:01:56 科学百科 阅读 3 次

简介/特征值 编辑

又称本征值,英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen,由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用(赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念)。eigen一词可翻译为“自身的”,“特定于...的”,“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。

定义(高等数学的基本定义)/特征值 编辑

基本定义

设A为n阶矩阵,若存在常数λ及n维非零向量x,使得Ax=λx,则称λ是矩阵A的特征值,x是A属于特征值λ的特征向量。

广义特征值

如将特征值的取值扩展到复数领域,则一个广义特征值有如下形式:Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值(第二种意义)λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0,得到det(A-λB)=0(其中det即行列式)构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项,称为一个“丛(pencil)”。

特征值
特征值

若B可逆,则原关系式可以写作

Aν=λν ,也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵(无法进行逆变换)时,广义特征值问题应该以其原始表述来求解。

特征值
特征值

如果A和B是实对称矩阵,则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显,因为

A矩阵未必是对称的。

计算方法/特征值 编辑

特征值
求特征值及特征向量

求n阶矩阵A的特征值的基本方法:

特征值
特征值

根据定义可改写为关系式

为单位矩阵(其形式为主对角线元素为λ-

,其余元素乘以-1)。要求向量

具有非零解,即求齐次线性方程组

有非零解的值

。即要求行列式

。 解次行列式获得的

值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的

,即为输入这个行列式的特征向量。

特征值
关于特征值

具体操作以右图为例。

定义1设是一个阶方阵(即使一个n*n的矩阵),是一个数,如果方程

(1)

存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量.

(1)式也可写成,

(2)

这是个未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式

, (3)

上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.其左端是的次多项式,记作,称为方阵的特征多项式.

==

=

显然,的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,阶矩阵有个特征值.

设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明

(Ⅰ)

(Ⅱ)

若为的一个特征值,则一定是方程的根,因此又称特征根,若为方程的重根,则称为的重特征根.方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量,于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下:

第一步:计算的特征多项式;

第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值;

第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组:

的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是

(其中是不全为零的任意实数).

例1求的特征值和特征向量.

解的特征多项式为

=

所以的特征值为

当=2时,解齐次线性方程组得

解得令=1,则其基础解系为:=

因此,属于=2的全部特征向量为:.

当=4时,解齐次线性方程组得令=1,

则其基础解系为:因此的属于=4的全部特征向量为

[注]:若是的属于的特征向量,则也是对应于的特征向量,因而特征向量不能由特征值惟一确定.反之,不同特征值对应的特征向量不会相等,亦即一个特征向量只能属于一个特征值.

例2求矩阵

的特征值和特征向量.

解的特征多项式为

==,

所以的特征值为==2(二重根),.

对于==2,解齐次线性方程组.由

得基础解系为:

因此,属于==2的全部特征向量为:不同时为零.

对于,解齐次线性方程组.由

得基础解系为:

因此,属于的全部特征向量为:

由以上讨论可知,对于方阵的每一个特征值,我们都可以求出其全部的特征向量.但对于属于不同特征值的特征向量,它们之间存在什么关系呢?这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用.对此我们给出以下结论:

定理1属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

基本应用/特征值 编辑

求特征向量

设A为n阶矩阵,根据关系式Ax=λx,可写出(λE-A)x=0,继而写出特征多项式|λE-A|=0,可求出矩阵A有n个特征值(包括重特征值)。将求出的特征值λi代入原特征多项式,求解方程(λiE-A)x=0,所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

判断相似矩阵的必要条件

设有n阶矩阵A和B,若A和B相似(A∽B),则有:

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B),特别地,λ(A)=λ(Λ),Λ为A的对角矩阵;

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|;

特征值
特征值

3、A的迹等于B的迹——trA=trB/

,其中i=1,2,…n(即主对角线上元素的和);

4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|;

5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

判断矩阵可对角化的充要条件

特征值
相似对角化

矩阵可对角化有两个充要条件:1、矩阵有n个不同的特征向量;2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件,则需要出现二重以上的重特征值可验证(一重相当于没有重根)。

特征值
特征值

若矩阵A可对角化,则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值,其余元素全部为0。(一个矩阵的对角阵不唯一,其特征值可以换序,但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使

=Λ)

更多应用/特征值 编辑

量子力学:

特征值
奇异矩阵特征值

设A是向量空间的一个线性变换,如果空间中某一非零向量通过A变换后所

得到的向量和X仅差一个常数因子,即AX=kX ,则称k为A的特征值,X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时,在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下,势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值,这些值就是正的本征值。

设M是n阶方阵, I是单位矩阵, 如果存在一个数λ使得 M-λI 是奇异矩阵(即不可逆矩阵, 亦即行列式为零), 那么λ称为M的特征值。

在A变换的作用下,向量ξ仅仅在尺度上变为原来的λ倍。称ξ是A 的一个特征向量,λ是对应的特征值(本征值),是(实验中)能测得出来的量,与之对应在量子力学理论中,很多量并不能得以测量,当然,其他理论领域也有这一现象。